Een getal in de wiskunde is het woord of symbool dat gebruikt wordt om hoeveelheden of entiteiten aan te duiden die zich als hoeveelheden gedragen.
Een getal in de wiskunde is het woord of symbool dat gebruikt wordt om hoeveelheden of entiteiten aan te duiden die zich als hoeveelheden gedragen.
Tallen zijn gegroepeerd in diverse verzamelingen of structuren; elk bevat het vorige en is completer dan het vorige en met grotere mogelijkheden in zijn bewerkingen. Zij worden hieronder opgesomd.
Dit is het wiskundige begrip van fundamenteel belang, dat sinds de oudheid min of meer bewust is ingevoerd om te kunnen werken met hoeveelheden van elementen die verzamelingen vormen of met hoeveelheden die maten uitdrukken van materiële entiteiten. Vele getalsreeksen kunnen axiomatisch worden ingevoerd, samen met de bijbehorende operaties, zoals algebraïsche en topologische bijzonderheden. Omgekeerd kan men constructief te werk gaan, door achtereenvolgens grotere getalsreeksen te introduceren.
De natuurlijke getallen 1, 2, 3,... worden geïntroduceerd als kardinaal of als ordinaal, d.w.z. als entiteiten die de volgorde van eindige verzamelingen en de posities van rijen (Peano-axioma's) kunnen weergeven; nul wordt geïntroduceerd als de orde van de lege verzameling.
Nul en de natuurlijke getallen vormen de verzameling van niet-negatieve getallen. Negatieve getallen worden geïntroduceerd als de inverses van de positieve getallen met betrekking tot optellen, en om onbeperkt te kunnen aftrekken.
Rationale getallen worden geïntroduceerd om onbeperkt te kunnen delen. De uitbreiding tot algebraïsche getallen wordt gedaan om het bestaan van nulpunten van veeltermen met gehele coëfficiënten te garanderen.
Reële getallen worden geïntroduceerd om met minimale beperkingen bewerkingen te kunnen uitvoeren die naar de limiet gaan.
Ten slotte wordt het reële veld uitgebreid tot dat van de complexe getallen om het bestaan van n wortels te garanderen voor elke veelterm van graad n.
- Polynomen met gehele coëfficiënten worden geïntroduceerd, zodat bewerkingen kunnen worden uitgevoerd met minimale beperkingen voor het overgaan naar de limiet.
- Het getal van Fermat: Elk getal van de vorm 22n+1, voor elke n=1,2,3, ... Er is aangetoond dat de eerste veronderstelling van de auteur dat al deze getallen priem waren, niet waar is.
- Perfect getal: positief geheel getal gelijk aan de som van zijn positieve delers, met uitzondering van zichzelf. Het is niet bekend of volmaakte oneven getallen bestaan.
- Polygoongetal: natuurlijk getal van de reeks n0 = 1, n1 ... nr ... waarbij nr = nr-1 + (m-2)r +1, waarbij m een natuurlijk getal groter dan twee is. Voor m = 3,4,5... krijgen we de driehoekige, vierhoekige, vijfhoekige getallen.... Het getal nr is het aantal gemarkeerde punten in een meetkundig schema gevormd door respectievelijk driehoeken, vierkanten, vijfhoeken...
- Transfiniet getal: kardinaal getal dat geen geheel getal is.
- Transcendent getal: getal dat niet de wortel is van een algebraïsche vergelijking met rationale coëfficiënten.
- Driehoeksgetal: natuurlijk getal van de reeks n0 = 1, n1 ... nr ... waarin nr = nr-1 + r +1, . Het getal nr is het aantal gemarkeerde punten in een meetkundig schema gevormd met driehoeken.
- Vriendelijke getallen: paar positieve gehele getallen zodanig dat de som van de positieve delers van elk getal kleiner dan zichzelf gelijk is aan het andere getal.
- Pythagoreïsche getallen: drietallen van positieve gehele getallen zodanig dat het kwadraat van een van beide gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere twee. Als de lengtes van de twee zijden van een driehoek gehele getallen zijn en Pythagoreïsch, dan is de driehoek rechthoekig.
Dit zijn de getallen die worden gebruikt om de elementen van verzamelingen te tellen:
N = {0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11, 11, 12,...}
Er zijn oneindigheden. Ze kunnen worden opgeteld en vermenigvuldigd en bij beide bewerkingen is het resultaat in alle gevallen een natuurlijk getal. Ze kunnen echter niet altijd worden afgetrokken of gedeeld (noch 3 - 7 noch 7 : 4 zijn natuurlijke getallen).
Dit zijn de natuurlijke getallen en de bijbehorende negatieven:
Z = {..., -11, -10, -9,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,...}
Naast dat ze in alle gevallen kunnen worden opgeteld en vermenigvuldigd, kunnen ze ook worden afgetrokken, dus deze structuur is een verbetering ten opzichte van die van de natuurlijke getallen. In het algemeen kunnen twee gehele getallen echter niet worden gedeeld. Daarom gaan we verder met de volgende getallenstructuur.
Dit zijn de getallen die kunnen worden uitgedrukt als een quotiënt van twee gehele getallen. De verzameling Q van rationale getallen is samengesteld uit de gehele getallen en de breukgetallen. Zij kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld (behalve door nul) en het resultaat van al deze bewerkingen tussen twee rationale getallen is altijd een ander rationaal getal.
In tegenstelling tot de natuurlijke getallen en de gehele getallen zijn de rationale getallen niet zo gerangschikt dat ze één voor één kunnen worden geordend. Dat wil zeggen, er is geen "volgend" rationaal getal, want tussen elke twee rationale getallen liggen er oneindig veel andere, zodat als ze op een lijn worden voorgesteld, deze lijn er dicht mee is bezet: als we een stuk lijn nemen, bevat een segment, hoe klein ook, oneindig veel rationale getallen. Tussen deze getallen die dicht op de lijn liggen, liggen echter ook oneindig veel andere punten die niet door rationale getallen worden bezet. Dit zijn de irrationele getallen.
De verzameling gevormd door alle rationale en irrationele getallen is de verzameling van reële getallen, zodat alle tot nu toe genoemde getallen (natuurlijk, geheel getal, rationaal, irrationaal) reëel zijn. Deze getallen bezetten punt voor punt de getallenlijn, die dus reële lijn wordt genoemd.
Dezelfde operaties zijn gedefinieerd onder de reële getallen als onder de rationale getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, behalve voor nul).
Het product van een reeel getal door zichzelf is altijd 0 of positief, dus de vergelijking x2 = -1 heeft geen oplossing in het reele getallenstelsel. Als men aan x een waarde wil geven, zodanig dat x = Á, dan kan dit geen reële waarde zijn, niet meer in wiskundige zin maar ook niet in technische zin. Daartoe wordt een nieuwe getallenreeks (verschillend van die van de reële getallen) gebruikt, die van de imaginaire getallen. Het symbool i staat voor de eenheid van de imaginaire getallen en is gelijk aan Á. Met deze getallen kan men bijvoorbeeld de oplossing vinden van de vergelijking , die geschreven kan worden als
x = 3 × i of x = 3i
De getallen bi,b ≠ 0, worden zuiver imaginaire getallen genoemd.
Een imaginair getal wordt verkregen door een reëel getal en een zuiver imaginair getal bij elkaar op te tellen.
In zijn algemene vorm wordt een complex getal voorgesteld als a+ bi, waarbij a en b reële getallen zijn. De verzameling van complexe getallen bestaat uit alle reële getallen en alle imaginaire getallen.
Complexe getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het zogenaamde Arganddiagram. De reële en imaginaire delen van een complex getal worden als punten op twee loodrechte lijnen of assen geplaatst. Op deze manier wordt een complex getal voorgesteld als een enkel punt op een vlak, het zogenaamde complexe vlak.
Complexe getallen zijn van groot nut in de theorie van de elektrische wisselstroom, maar ook in andere takken van de natuurkunde, in de techniek en in de natuurwetenschappen.
Complexe getallen zijn ook van groot nut in de theorie van de elektrische wisselstroom, maar ook in andere takken van de natuurkunde, in de techniek en in de natuurwetenschappen.