Driehoeksgetallen
Getallen die perfecte driehoeken van punten vormen
Driehoeksgetallen zijn getallen die voorgesteld kunnen worden als een gelijkzijdige driehoek van punten. Het n-de driehoeksgetal wordt verkregen door de eerste n natuurlijke getallen op te tellen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... De formule is T(n) = n(n+1)/2.
Visualisatie
De eerste driehoeksgetallen kunnen grafisch worden weergegeven als driehoeken van punten:
*
*
* *
*
* *
* * *
*
* *
* * *
* * * *
*
* *
* * *
* * * *
* * * * *
De formule: T(n) = n(n+1)/2
Er bestaat een beroemde anekdote over de wiskundige Carl Friedrich Gauss. Toen hij een kind was, vroeg zijn leraar de klas om alle getallen van 1 tot 100 bij elkaar op te tellen, in de verwachting ze een hele tijd bezig te houden. Maar de jonge Gauss vond het antwoord in enkele seconden.
De truc van Gauss:
Hij zag dat de getallen paarsgewijs van de uiteinden kunnen worden gecombineerd:
Er zijn 50 paren, elk met som 101, dus het totaal is 50 × 101 = 5.050.
Veralgemeend: T(n) = n(n+1)/2
Eigenschappen van driehoeksgetallen
- Gauss' eureka-stelling: Elk natuurlijk getal is de som van ten hoogste 3 driehoeksgetallen.
- Volkomen kwadraten: T(n) + T(n−1) = n². Twee opeenvolgende driehoeksgetallen leveren altijd een volkomen kwadraat op.
- Verband met kwadraten: 8·T(n) + 1 is altijd een volkomen kwadraat. Bijvoorbeeld: 8×6 + 1 = 49 = 7².
- Som van driehoeksgetallen: De som van de eerste n driehoeksgetallen is n(n+1)(n+2)/6, wat de tetraëdergetallen oplevert.
Verband met andere getallen
Driehoeksgetallen hebben fascinerende verbanden met andere typen getallen:
- Driehoeks- en kwadraat: Sommige driehoeksgetallen zijn ook volkomen kwadraten: 1, 36, 1.225, 41.616...
- Palindroom-driehoeksgetallen: Sommige driehoeksgetallen zijn ook palindromen, zoals 1, 3, 6, 55, 66, 171, 595...
- Driehoek van Pascal: Driehoeksgetallen verschijnen op de derde diagonaal van de driehoek van Pascal (de binomiaalcoëfficiënten C(n,2)).
De eerste 20 driehoeksgetallen
Tabel met index n en het bijbehorende driehoeksgetal T(n):
De eerste 50 driehoeksgetallen
Klik op een driehoeksgetal om de volledige analyse te bekijken:
Preguntas Frecuentes
¿Qué es un número triangular?
Un número triangular es la suma de los primeros n números naturales consecutivos. Se llaman así porque se pueden representar como un triángulo de puntos. Los primeros son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.
¿Cuál es la fórmula de los números triangulares?
La fórmula es T(n) = n × (n + 1) / 2, donde n es la posición en la secuencia. Por ejemplo, T(10) = 10 × 11 / 2 = 55. Esta fórmula fue descubierta famosamente por el joven Gauss cuando su profesor le pidió sumar los números del 1 al 100.
¿Cómo saber si un número es triangular?
Un número m es triangular si 8m + 1 es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para m = 10: 8 × 10 + 1 = 81 = 9², por lo que 10 es triangular. Alternativamente, se puede calcular n = (√(8m + 1) - 1) / 2 y verificar que n sea un entero.