Perfecte Getallen

Een perfect getal is een natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van zijn eigen delers (alle delers behalve het getal zelf). Het eenvoudigste voorbeeld is 6: de eigen delers zijn 1, 2 en 3, en inderdaad 1 + 2 + 3 = 6. Het volgende is 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Deze getallen fascineren wiskundigen al meer dan tweeduizend jaar door hun schoonheid en symmetrie.

Geschiedenis van perfecte getallen

Perfecte getallen werden bestudeerd door de Pythagoreeërs in de 6e eeuw v.Chr., die er mystieke betekenissen aan toeschreven en ze beschouwden als symbolen van kosmische harmonie. Euclides (300 v.Chr.) bewees dat als 2^p − 1 een priemgetal is, dan is 2^p−1 × (2^p − 1) een perfect getal. Twee millennia later voltooide Euler het plaatje door te bewijzen dat alle even perfecte getallen deze vorm hebben. Sint Augustinus schreef dat God de wereld in 6 dagen schiep omdat 6 een perfect getal is, en dat de maan elke 28 dagen om de aarde draait om dezelfde reden.

Het verband met Mersenne-priemgetallen

Er bestaat een directe overeenkomst tussen even perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen (priemgetallen van de vorm 2^p − 1). Elk Mersenne-priemgetal genereert precies één even perfect getal, en omgekeerd. Bijvoorbeeld: 2² − 1 = 3 (priem) levert het perfecte getal 2¹ × 3 = 6; 2³ − 1 = 7 (priem) levert 2² × 7 = 28; 2⁵ − 1 = 31 (priem) levert 2⁴ × 31 = 496. Het vinden van een nieuw Mersenne-priemgetal betekent automatisch het ontdekken van een nieuw perfect getal.

Open vragen

Ondanks meer dan tweeduizend jaar studie blijven grote mysteries onopgelost. Zijn er oneindig veel perfecte getallen? De meeste wiskundigen geloven van wel, maar niemand heeft het kunnen bewijzen. Bestaat er een oneven perfect getal? Er is aangetoond dat als er een bestaat, het groter moet zijn dan 10¹⁵⁰⁰ en minstens 101 priemfactoren moet hebben (niet noodzakelijk verschillend), maar niemand heeft bewezen dat ze niet kunnen bestaan. Deze problemen blijven open en vertegenwoordigen twee van de oudste vragen in de wiskunde.

Fascinerende eigenschappen

Even perfecte getallen hebben merkwaardige eigenschappen. Ze eindigen allemaal op 6 of 8 (onregelmatig afwisselend). Het zijn allemaal driehoeksgetallen, wat betekent dat ze kunnen worden weergegeven als een driehoek van punten. De som van de omgekeerden van de delers van een perfect getal is altijd precies 2. Bovendien is elk even perfect getal (behalve 6) de som van een opeenvolgende reeks oneven kubussen: 28 = 1³ + 3³, 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³.

Bekende perfecte getallen

Tot op heden zijn er 51 perfecte getallen bekend. De eerste vier zijn klein genoeg om te verkennen:

Did you know?

• Saint Augustine wrote that God created the world in 6 days because 6 is a perfect number, not the other way around. He also noted the Moon's 28-day cycle — 28 being the second perfect number.
• Every even perfect number is also a triangular number. For example, 6 = T(3) and 28 = T(7), where T(n) = n(n+1)/2.
• The sum of the reciprocals of all divisors of a perfect number always equals 2. For 6: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2. For 28: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
• Every even perfect number except 6 can be written as the sum of consecutive odd cubes: 28 = 1³ + 3³, 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³, 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.
• If an odd perfect number exists, it must be greater than 10¹⁵⁰⁰ and have at least 101 prime factors. After thousands of years of searching, none has ever been found.

Grote perfecte getallen

Het vijfde perfecte getal is 33.550.336 en het zesde is 8.589.869.056. Vanaf daar groeien perfecte getallen exponentieel. Het grootste bekende, het 51e perfecte getal, heeft meer dan 49 miljoen cijfers. De eerste perfecte getallen werden met de hand ontdekt door de oude Grieken, maar het vinden van de meest recente vereiste supercomputers en maanden van berekening.